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<!DOCTYPE html>

<title>Anderson-Darling-Test</title>

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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Anderson-Darling-Test</span></h1>

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</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Der <b>Anderson-Darling-Test</b> beziehungsweise <b>Anderson-Darling-Anpassungstest</b> ist ein <a href="Statistischer_Test" title="Statistischer Test">statistischer Test</a>, mit dem festgestellt werden kann, ob die <a href="H%C3%A4ufigkeitsverteilung" title="Häufigkeitsverteilung">Häufigkeitsverteilung</a> der Daten einer <a href="Stichprobe" title="Stichprobe">Stichprobe</a> von einer vorgegebenen hypothetischen <a href="Wahrscheinlichkeitsverteilung" class="mw-redirect" title="Wahrscheinlichkeitsverteilung">Wahrscheinlichkeitsverteilung</a> abweicht. Die bekannteste und häufigste Anwendung dieses <a href="Anpassungstest" class="mw-redirect" title="Anpassungstest">Anpassungstests</a> ist der Einsatz als Normalitätstest zur Untersuchung einer Stichprobe auf <a href="Normalverteilung" title="Normalverteilung">Normalverteilung</a>. Er ist benannt nach den amerikanischen Mathematikern <a href="Theodore_Wilbur_Anderson" title="Theodore Wilbur Anderson">Theodore Wilbur Anderson</a> und <a href="Donald_Allan_Darling" title="Donald Allan Darling">Donald Allan Darling</a>, die ihn 1952 erstmals beschrieben haben. Weitere detaillierte Untersuchungen zu diesem Test stammen von Michael A. Stephens.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Testbeschreibung">Testbeschreibung</h2></div>

<p>Der Anderson-Darling-Test beruht auf einer Transformation der nach Größe sortierten Werte in der Stichprobe in eine <a href="Gleichverteilung" title="Gleichverteilung">Gleichverteilung</a> anhand der <a href="Verteilungsfunktion" title="Verteilungsfunktion">Verteilungsfunktion</a> der vorgegebenen hypothetischen Wahrscheinlichkeitsverteilung. Als Prüfgröße fungiert der Abstand der transformierten Stichprobendaten zur Verteilungsfunktion der Gleichverteilung. Für eine stärkere Gewichtung der Randbereiche sowie für die Anwendung bei unbekannten <a href="Erwartungswert" title="Erwartungswert">Erwartungswerten</a> und <a href="Varianz_(Stochastik)" title="Varianz (Stochastik)">Varianzen</a> sind verschiedene Korrekturen verfügbar. Von Stephens ist darüber hinaus ein Verfahren zur direkten Abschätzung des <a href="P-Wert" title="P-Wert">p-Wertes</a> aus der <a href="Teststatistik" title="Teststatistik">Testgröße</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"></span> beschrieben worden. Diese wird, mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"></span> als Verteilungsfunktion der vorgegebenen hypothetischen Wahrscheinlichkeitsverteilung, berechnet nach den Formeln

</p><p><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A^{2}=-n-S\,,}">

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f8cf14f1073792dddad38e02aa56c3fcebad1c82.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.472ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle A^{2}=-n-S\,,}" loading="lazy"></span>

</p><p>mit

</p><p><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S=\sum _{k=1}^{n}{\frac {2k-1}{n}}\left[\ln F(Y_{k})+\ln \left(1-F(Y_{n+1-k})\right)\right].}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S=\sum _{k=1}^{n}{\frac {2k-1}{n}}\left[\ln F(Y_{k})+\ln \left(1-F(Y_{n+1-k})\right)\right].}</annotation>

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7de4342ea84dbf959692ebf30ddc68ef8d891342.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:47.53ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle S=\sum _{k=1}^{n}{\frac {2k-1}{n}}\left[\ln F(Y_{k})+\ln \left(1-F(Y_{n+1-k})\right)\right].}" loading="lazy"></span>

</p><p>Die <a href="Hypothese_(Statistik)" title="Hypothese (Statistik)">Nullhypothese</a> des Tests ist die Annahme, dass die Häufigkeitsverteilung der Daten in der Stichprobe der vorgegebenen hypothetischen Wahrscheinlichkeitsverteilung entspricht. Ein p-Wert kleiner als 0,05 als Ergebnis des Anderson-Darling-Tests ist demzufolge als <a href="Statistische_Signifikanz" title="Statistische Signifikanz">signifikante</a> Abweichung von der vorgegebenen Verteilung zu interpretieren. Demgegenüber bedeutet ein p-Wert größer als 0,05 jedoch nicht zwangsläufig, dass die Häufigkeitsverteilung der Daten der vorgegebenen Verteilung entspricht.

</p><p>Der Anderson-Darling-Test kann ab einem Stichprobenumfang von n≥8 eingesetzt werden. Seine häufigste Anwendung ist die Nutzung als Normalitätstest zum Vergleich der Verteilung einer Stichprobe mit der <a href="Normalverteilung" title="Normalverteilung">Normalverteilung</a>. Die Entscheidung darüber, ob die Werte einer Stichprobe normalverteilt vorliegen, ist wesentlich für die Wahl der statistischen Tests für weitere Analysen. Während bestimmte Verfahren wie der <a href="T-Test" title="T-Test">t-Test</a> und die <a href="Varianzanalyse" title="Varianzanalyse">Varianzanalyse</a> normalverteilte Stichproben voraussetzen, sind bei Abweichungen von der Normalverteilung <a href="Nichtparametrische_Statistik" title="Nichtparametrische Statistik">nichtparametrische Tests</a> wie der <a href="Mann-Whitney-U-Test" class="mw-redirect" title="Mann-Whitney-U-Test">Mann-Whitney-U-Test</a>, der <a href="Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test" title="Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test">Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test</a>, der <a href="Kruskal-Wallis-Test" title="Kruskal-Wallis-Test">Kruskal-Wallis-Test</a> oder der <a href="Friedman-Test_(Statistik)" title="Friedman-Test (Statistik)">Friedman-Test</a> als Alternative einzusetzen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Alternative_Verfahren">Alternative Verfahren</h2></div>

<p>Eine Alternative zum Anderson-Darling-Test für die allgemeine Anwendung als <a href="Anpassungsg%C3%BCte" title="Anpassungsgüte">Anpassungstest</a> ist der <a href="Kolmogorow-Smirnow-Test" title="Kolmogorow-Smirnow-Test">Kolmogorow-Smirnow-Test</a>, mit dem ebenfalls eine Stichprobe mit einer hypothetischen Wahrscheinlichkeitsverteilung verglichen werden kann. Im Vergleich zu diesem berücksichtigt der Anderson-Darling-Test bestimmte kritische Werte, wodurch er eine höhere <a href="Beurteilung_eines_bin%C3%A4ren_Klassifikators#Sensitivität_und_Falsch-Negativ-Rate" title="Beurteilung eines binären Klassifikators">Sensitivität</a> als der Kolmogorow-Smirnow-Test aufweist. Diese kritischen Werte sind jedoch abhängig von der vorgegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung, entsprechende Tabellen liegen derzeit für die <a href="Normalverteilung" title="Normalverteilung">Normalverteilung</a>, die <a href="Logarithmische_Normalverteilung" title="Logarithmische Normalverteilung">logarithmische Normalverteilung</a>, die <a href="Exponentialverteilung" title="Exponentialverteilung">Exponentialverteilung</a>, die <a href="Weibull-Verteilung" title="Weibull-Verteilung">Weibull-Verteilung</a>, die <a href="Extremwertverteilung" title="Extremwertverteilung">Typ-I-Extremwertverteilung</a> und die <a href="Logistische_Verteilung" title="Logistische Verteilung">logistische Verteilung</a> vor. Der Kolmogorow-Smirnow-Test hat im Vergleich zum Anderson-Darling-Test den Vorteil, dass mit ihm auch ein Vergleich der Verteilung von zwei Stichproben möglich ist. Gleiches gilt für den <a href="Cram%C3%A9r-von-Mises-Test" title="Cramér-von-Mises-Test">Cramér-von-Mises-Test</a>.

</p><p>Für den speziellen Einsatz als Normalitätstest gilt der Anderson-Darling-Test als eines der <a href="Trennsch%C3%A4rfe_eines_Tests" title="Trennschärfe eines Tests">trennschärfsten</a> statistischen Verfahren. Alternativen für diese Anwendung sind der hinsichtlich der Teststärke in den meisten Fällen vergleichbare <a href="Shapiro-Wilk-Test" title="Shapiro-Wilk-Test">Shapiro-Wilk-Test</a>, der <a href="Jarque-Bera-Test" title="Jarque-Bera-Test">Jarque-Bera-Test</a> sowie ebenfalls der Kolmogorow-Smirnow-Test, der allerdings als Test auf Normalverteilung nur eine geringe Teststärke aufweist und im Vergleich zu anderen Normalitätstests nicht empfehlenswert ist. Auch der <a href="Lilliefors-Test" title="Lilliefors-Test">Lilliefors-Test</a>, bei dem es sich um eine spezielle Anpassung des Kolmogorow-Smirnow-Tests für den Test auf Normalverteilung handelt, ist dem Anderson-Darling-Test hinsichtlich der Teststärke unterlegen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Theodore Wilbur Anderson, Donald Allan Darling: <i>Asymptotic Theory of Certain „Goodness of Fit“ Criteria Based on Stochastic Processes.</i> In: <i>Annals of Mathematical Statistics.</i> 23(2)/1952, S. 193–212, <a href="JSTOR" title="JSTOR">JSTOR</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.jstor.org/stable/2236446">2236446</a></li>

<li>Michael A. Stephens: <i>EDF Statistics for Goodness of Fit and Some Comparisons.</i> In: <i>Journal of the American Statistical Association.</i> 69/1974, S. 730–737, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1080/01621459.1974.10480196">10.1080/01621459.1974.10480196</a></span> <a href="JSTOR" title="JSTOR">JSTOR</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.jstor.org/stable/2286009">2286009</a></li>

<li>Michael A. Stephens: <i>Goodness of Fit, Anderson–Darling Test of.</i> In: <i>Encyclopedia of Statistical Sciences.</i> John Wiley & Sons, 2006, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1002/0471667196.ess0041.pub2">10.1002/0471667196.ess0041.pub2</a></span></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda35e.htm">NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods: Anderson-Darling Test</a> (englisch)</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.sixsigmablackbelt.de/test-auf-normalverteilung-excel/">Freies Excel Template für Anderson-Darling Test</a> (deutsch)</li></ul></div><div><div class="zim-footer">

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